石墨烯振动模式

发表于 2021-03-22 更新于 2022-06-28 分类于物理阅读次数：本文字数： 1.3k 阅读时长 ≈ 5 分钟

基于前两篇文章，入门级理解振动模式，注意python求出来的本征向量，只是特征值与本征向量对应，但是并没有排序，但是matlab排序了，也就是说matlab的第一个本征向量不是python求解出来的第一个

一些词汇含义

前两篇文章，波动方程求解中

本征值
\[sin\sqrt{\lambda} l=0\]
此时，\(\lambda\) 只能取特定的值，称为 本征值
\[\lambda _n = (\frac{n\pi}{l})^2 \qquad n = 0,1,2,3……\]
给定边界条件(两端位移为0)，特定时刻，绳子可以有很多满足条件的分布(波谷的个数不同)，每个分布中，绳子的波谷个数 \(n\) 不同，\(\lambda\) 与 \(n\) 相关
本征函数
对于每一个本征值 \(\lambda_n\)对应一个\(X_n(x)\)的解
\[X_n(x)=Csin\frac{n\pi}{l}x \qquad n = 0,1,2,3……\]
这个解，被称为 本征函数
给定边界条件(两端位移为0)，特定时刻，绳子可以有很多满足条件的分布，每个分布函数都是本征函数
本征频率
对于每一个 \(\lambda _n\) 都有一个 \(T_n(t)\) 的解与之对应
\[T_n(t)=A_nsin(a\frac{n\pi}{l}t) + B_ncos(a\frac{n\pi}{l}t) \qquad n = 0,1,2,3……\]
此时令 \(a\frac{n\pi}{l}=\omega_n\)，这里的 \(\omega_n\) 就是 本征频率，上面的式子可以写成
\[T_n(t)=A_nsin(\omega_nt) + B_ncos(\omega_nt)\qquad n = 0,1,2,3……\]
绳子上某一点，随时间的位移变化频率

线性代数中

参考维基百科

本征向量与本征值
\[Av=\lambda v\]
一个 \(n \times n\) 矩阵 \(A\) 与 \(n \times 1\) 矩阵 \(v\) 相乘，等于常数 \(\lambda\) 与矩阵 \(v\) 相乘，
官方：对于一个给定的方阵 \(A\) ，它的特征向量 \(v\) 经过这个线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的 \(v\) 保持在同一条直线上，但其长度或方向也许会改变。
\(\lambda\) 为其本征值（eigenvalue，也译本征值、固有值）; \(v\) 为本征向量(eigenvector)，也译“特征向量、固有向量”
举例

如果一个矩阵通过线性变换可以变为对角矩阵

\[ A =\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} \right] \]

特征值 就是2和4。2对应的 特征向量 是所有形同 \((a, b, 0)^T\) 的非零向量，而4对应的特征向量是所有形同 \((0,0,c)^{T}\) 的非零向量。2对应的特征空间是一个2维空间，而4对应的特征空间是一个1维空间

构建一维链模型

固定边界条件

- 1. - 1. ..... - (i-1) - (i) - (i+1) - ..... - (n-1) - (n) - (n+1)
和 (N+1) 两端固定，中间一共N个原子，(-)代表原子之间弹簧连接，以向右为正，第i个原子的位移为 \(x_i\)，由于固定边界条件，\(x_0=x_{n+1}=0\)，对于原子(1)收到的力为 \(F=-k\Delta x\)

\[m\ddot{x_1}=-k(x_1-x_0)+k(x_2-x_1)\]

\[ \frac{m\ddot{x_1}}{k} = x_0+x_2-2x_1= \left[ \begin{matrix} x_1 & x_2 & ... & x_{i-1} & x_i & x_{i+1} & ... & x_{n-1} & x_n \end{matrix} \right] \dot{} \left[ \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ ... \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ ... \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \]

矩阵（行列式）相乘：左行 \(\times\) 右列，每一项相加

同理，对于第i个原子，

\[ \frac{m\ddot{x_i}}{k} = x_{i-1}+x_{i+1}-2x_i= \left[ \begin{matrix} x_1 & x_2 & ... & x_{i-1} & x_i & x_{i+1} & ... & x_{n-1} & x_n \end{matrix} \right] \dot{} \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ 1 \\ -2 \\ 1 \\ ... \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \]

第n个原子

\[ \frac{m\ddot{x_n}}{k} = x_{n-1}+x_{n+1}-2x_n= \left[ \begin{matrix} x_1 & x_2 & ... & x_{i-1} & x_i & x_{i+1} & ... & x_{n-1} & x_n \end{matrix} \right] · \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ ... \\ 1 \\ -2 \end{matrix} \right] \]

又因为x与时间的关系为余弦函数，

\[x_i=A_i cos(\omega t + \phi) \]

\[\ddot{x_i}=-\omega^2(A_i cos(\omega t + \phi))=-\omega^2 x_i\]

将上面n个式子相加，并代入\(\ddot{x_i}=-\omega^2 x_i\)

\[ -\omega^2\frac{m}{k}\vec{x} = \vec{x} V \]

其中： \[ \vec{x} = \left[ \begin{matrix} x_1 & x_2 & ... & x_{i-1} & x_i & x_{i+1} & ... & x_{n-1} & x_n \end{matrix} \right] \]

\[ V= \left[ \begin{matrix} -2 & 1 & … & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0\\ 1 & -2 & … & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & -2 & 1 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 & -2 & 1 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 & 1 & -2 & ... & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right] \]

正好和之前的本征向量、本征值形式相同

\[Av=\lambda v\]

\(v=\vec{x}, A=V, \lambda=-\omega^2\frac{m}{k}\)

\(V\) 矩阵已知，可以求解特征向量 \(\vec{x}\)（n维），特征值为 \(-\omega^2\frac{m}{k}\)

求解出来的特征值有n个，每个特征值对应一个特征向量 \(\vec{x}\)（n维）

使用python求解代码如下：

# 特征值赋值给tzzs，对应特征向量赋值给tzxls
#! 注意本征值没有从大到小排序
tzzs0, tzxls0 = np.linalg.eig(V)

#! 深度复制，不然你修改tzzs，tzzs0也变
tzzs = copy.deepcopy(tzzs0)

tzzs = sorted(tzzs, reverse=True)
tzxls = []

for i in range(len(tzzs)):
    m = np.where(tzzs0 == tzzs[i])[0][0]
    tzxls.append(tzxls0[:, m])

tzxls = np.array(tzxls)
print(tzxls)