波动方程求解

大量参考《数学物理方法》-杨孔庆

弦振动推导波动方程

高中竞赛物理常见近似，x趋近于0时，如下（画个三角形显而易见）：

$$cosx=1$$

$$sinx=tanx\times cosx=tanx=x(\mathrm{弧}\mathrm{度}\mathrm{制})$$

初始设定

弦：线密度 $\rho$，每一点上下震动（x方向唯一为0）

受力分析

1. x处，dx长的的一段绳子（线密度$\rho$）:

   受到三个可能的力，两端的拉力$T_x$和$T_{x+dx}$，与绳子相切，切角大小分别为$\alpha$和$\beta$，并且单位长度弦可能受到外力，暂时认为是竖直方向，$f_0(x,t)$

   

   受力

2. 由于x轴上没有运动，x方向受力平衡

   $$T_{x}cos\alpha -T_{x+dx}cos\beta =0$$

   弦的振幅很小，可取$\alpha$$\beta$ -> 0，由上面的近似可得

   $$T_x=T_{x+dx}=T$$

3. 竖直方向上，运动方程为

   $$Tsin\alpha -T_{x+dx}sin\beta +f_0(x,t)dx=ma=(\rho dx)u_{tt}$$

   其中$u_{tt}$为竖直方向位移对时间的二阶导数

   由最开始的近似关系，可进一步化简为：

   $$Ttan\alpha -Ttan\beta +f_0(x,t)dx=(\rho dx)u_{tt}$$

   $tan$函数可以看做斜率：

   $$Ttan\alpha -Ttan\beta =T(\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{x+dx}-\frac{\partial u}{\partial x}{|}_x)$$

   其中

   $$\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{x+dx}-\frac{\partial u}{\partial x}{|}_x=\frac{{\partial }^{2}u}{{\partial }^{2}x}dx$$ 可得

   $$T\frac{{\partial }^{2}u}{{\partial }^{2}x}+f_0(x,t)=\rho u_{tt}$$

   写成标准形式：

   $$u_{tt}-a{u}_{xx}=f(x,t)$$

   其中 $a=\frac{T}{\rho }$，即振动在弦上传播的速度，$f(x,t)=\frac{f_0(x,t)}{\rho }$被称为外力密度，单位长度密度上所施加的外力。当$f(x,t)=0$，方程变为

   $$u_{tt}-a^2{u}_{xx}=0(0<x<l,t>0)$$

   即为一次齐次波动方程

定解条件

“初始条件”与“边界条件”

初始条件

位移分布和速度分布已知，$\psi (x)$和$v(x)$为已知函数

$$u(x,0)=\psi (x)0\le x\le l$$

$$u_t(x,0)=v(x)0\le x\le l$$

边界条件

共三类，分别是：

• 绳子两端固定
• 绳子两端不收到任何力，自由端
• 绳子两端是弹簧

1. 固定边界（两端）

   好比最上面的那个图，两端始终在x轴上的某一点即

   $$u(0,t)=u(l,t)=0$$

   随着时间t的变化，x=0和x=l处的绳子两端坐标u不变

2. 自由边界（两端）

   在我们之前的方程推导中，默认的是，$x$处的绳子长度$dx$，受到绳子两端的其他绳子拉力为

   $$T_x、T_{x+dx}$$

   $y$轴方向的受力，x轴方向一律认为不动 $$T_{x}sin\alpha 、T_{x+dx}\beta$$

   近似以后为

   $$T_{x}sin\alpha =Ttan\alpha =T\frac{\partial u}{\partial x}{|}_x$$

   $$T_{x+dx}sin\beta =Ttan\beta =T\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{x+dx}$$

   而真实情况是，$x=0$和$x=l$处，绳子自由时，这两段绳子只能受到一端绳子的力，另一端外力为0，即

   $$T\frac{\partial u}{\partial x}{|}_0=0$$

   $$T\frac{\partial u}{\partial x}{|}_l=0$$

   其中T可以去掉（绳子两端一个外力左下，一个右上，方向不同，但是此处为0，不考虑正负号）

   $$\frac{\partial u}{\partial x}{|}_0=0$$

   $$\frac{\partial u}{\partial x}{|}_l=0$$

3. 弹性边界（两端）

   绳子在两个竖直的弹簧上系着，在这种情况下，2中的竖直方向外力不为0，认为是一种弹力，类似于弹簧$f=au$，其中a为弹簧系数，u为y轴竖直方向位移，平衡时，两端受力为（暂时认为向上的力为负）：

   $$-\frac{\partial u}{\partial x}{|}_0+a_{1}u(0,t)=0$$

   $$\frac{\partial u}{\partial x}{|}_l+a_{2}u(l,t)=0$$

   两边弹簧弹性系数不一样，分别为$a_1$，$a_2$。

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本文作者：yuhldr
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