波动方程求解
大量参考《数学物理方法》-杨孔庆
弦振动推导波动方程
高中竞赛物理常见近似，x趋近于0时，如下（画个三角形显而易见）：
cosx = 1
sinx = tanx × cosx = tanx = x(弧度制)
初始设定
弦：线密度 ρ，每一点上下震动（x方向唯一为0） 
受力分析
x处，dx长的的一段绳子（线密度ρ）:
受到三个可能的力，两端的拉力Tx和Tx + dx，与绳子相切，切角大小分别为α和β，并且单位长度弦可能受到外力，暂时认为是竖直方向，f0(x, t)
由于x轴上没有运动，x方向受力平衡
Txcosα − Tx + dxcosβ = 0
弦的振幅很小，可取αβ -> 0，由上面的近似可得
Tx = Tx + dx = T
竖直方向上，运动方程为
Tsinα − Tx + dxsinβ + f0(x, t)dx = ma = (ρdx)utt
其中utt为竖直方向位移对时间的二阶导数
由最开始的近似关系，可进一步化简为：
Ttanα − Ttanβ + f0(x, t)dx = (ρdx)utt
tan函数可以看做斜率：
$$Ttan\alpha-Ttan\beta=T(\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{x+dx}-\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_x)$$
其中
$$\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{x+dx} - \frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_x=\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x}dx$$ 可得
$$T\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x}+f_0(x,t)=\rho u_{tt}$$
写成标准形式：
utt − auxx = f(x, t)
其中 $a=\frac{T}{\rho}$，即振动在弦上传播的速度，$f(x,t)=\frac{f_0(x,t)}{\rho}$被称为外力密度，单位长度密度上所施加的外力。当f(x, t) = 0，方程变为
utt − a2uxx = 0(0 < x < l, t > 0)
即为一次齐次波动方程
定解条件
“初始条件”与“边界条件”
初始条件
位移分布和速度分布已知，ψ(x)和v(x)为已知函数
u(x, 0) = ψ(x) 0 ≤ x ≤ l
ut(x, 0) = v(x) 0 ≤ x ≤ l
边界条件
共三类，分别是：
- 绳子两端固定
- 绳子两端不收到任何力，自由端
- 绳子两端是弹簧
固定边界（两端）
好比最上面的那个图，两端始终在x轴上的某一点即
u(0, t) = u(l, t) = 0
随着时间t的变化，x=0和x=l处的绳子两端坐标u不变
自由边界（两端）
在我们之前的方程推导中，默认的是，x处的绳子长度dx，受到绳子两端的其他绳子拉力为
Tx、Tx + dx
y轴方向的受力，x轴方向一律认为不动 Txsinα、Tx + dxβ
近似以后为
$$T_xsin\alpha = Ttan\alpha = T\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_x$$
$$T_{x+dx}sin\beta = Ttan\beta = T\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{x+dx}$$
而真实情况是，x = 0和x = l处，绳子自由时，这两段绳子只能受到一端绳子的力，另一端外力为0，即
$$T\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_0=0$$
$$T\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_l=0$$
其中T可以去掉（绳子两端一个外力左下，一个右上，方向不同，但是此处为0，不考虑正负号）
$$\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_0=0$$
$$\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_l=0$$
弹性边界（两端）
绳子在两个竖直的弹簧上系着，在这种情况下，2中的竖直方向外力不为0，认为是一种弹力，类似于弹簧f = au，其中a为弹簧系数，u为y轴竖直方向位移，平衡时，两端受力为（暂时认为向上的力为负）：
$$-\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_0 + a_1u(0,t) = 0$$
$$\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_l + a_2u(l,t) =0$$
两边弹簧弹性系数不一样，分别为a1，a2。
本文作者：yuhldr
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