波动方程求解2-分离变量法

发表于 2021-03-17 更新于 2025-10-29 分类于物理阅读次数：本文字数： 2.1k 阅读时长 ≈ 8 分钟

分离变量法求解波动方程：齐次方程、齐次边界条件下

大量参考《数学物理方法》-杨孔庆

齐次方程齐次边界条件

写成方程形式为：

$$
\begin{cases}
u_{tt}-a^2u_{xx}=0\qquad &(0<x<l,\quad t>0)\
u(0,t)=u(l,t)=0\qquad &(t>0)\
u(x,0)=\phi(x)\qquad &(0<x<l)\
u_t(x,0)=v(x)\qquad &(0<x<l)
\end{cases}
$$

这四个等式，上一篇文章都推导过

第一个：等号右边外力项 $f_0(x,t)=0$，即齐次波动方程，其中 $u_{tt}$ 为弦振动的位移（x轴对应的某一点的弦在y轴方向上下振动）对时间的二阶求导，$u_{xx}$ 为弦函数（某一时刻，整条线呈现为一个y关于x的函数）对x的二阶导
第二个：第一类边界条件，两端固定；
第三个：$t=0$ 的初始状态，弦位置分布；
第四个：$t=0$ 时初始状态，每一点的速度分布。

分离变量

分离变量法，$u$ 是关于时间 $t$ 和位置 $x$ 的复合函数，我们假设函数的解 $u$ 中，$t$ 与 $x$ 可以分开即最终解为

$$u(x,t)=X(x)T(t)$$

（因为每一时刻 $z$ 整条弦是一个 $y$ 关于 $x$ 的函数，而每一点在不同的时候上下振动也是一个关于时间 $t$ 的函数）
将这个形式的解带入到上面的第一个等式中

其中第一项 $u_{tt}$ 为函数 $u$ 对时间 $t$ 的二阶求导（求导两次），对 $t$ 求导时，$X(x)$ 与 $t$ 无关不会变，反之相同；$T’{’}$ 代表 $T(t)$ 对时间的二阶导（这里的“双撇”用英文引号，在hexo next公式里面有问题，我是这么打出来的T’{’}，直接复制，不然有问题）

$$
\begin{aligned}
u_{tt} &= \frac{\partial\frac{\partial (X(x)T(t))}{\partial t}}{\partial t}\
&= X(x) \frac{\partial\frac{\partial (T(t))}{\partial t}}{\partial t}\
&= X(x) T(t)’{’}\
&=XT’{’}
\end{aligned}
$$

同理 $u_{xx}=T(t)X(x)’{’}=TX’{’}$

$$u_{tt}-a^2u_{xx} = XT’{’}-a^2TX’{’}=0$$

$$\frac{T’{’}}{a^2T}=\frac{X’{’}}{X}$$

上面这个等式，左边全部与 $t$ 相关，右边全部与 $x$ 相关，如果他们相等只能是常数，比如如果他们等于 $2t$，那么随着 $t$ 的变化，方程左边变了，但是右边只与 $x$ 有关，是不变的，反之同理

X(x)求通解

因此假设

$$\frac{T’{’}}{a^2T}=\frac{X’{’}}{X}=-\lambda \qquad (\lambda>0)$$

如果为正，后面的计算中会有冲突

对于 $\frac{X’{’}}{X}=-\lambda$，即$X’{’}+\lambda X = 0$，这是一个常见的二阶常微分方程，使用特征方程法，我们假设$X = Ce^{r x}$，则有

$$X’{’} + \lambda X = r ^2 C e^{r x} + \lambda C e^{r x} = 0$$

特征方程为：

$$r^2 + \lambda = 0$$

有两个虚数根：

$$r = \pm \sqrt{\lambda} i$$

解有两个${C_1e^{r_1x} ， C_2e^{r_2x}}$，且线性无关，根据解的线性叠加原理可知：

解集 $X= C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}=C_1e^{\sqrt{\lambda} ix} + C_2e^{-\sqrt{\lambda} ix}$ 为通解。

对于虚数指数有如下关系（欧拉恒等式）：

$$e^{ix} = cosx + i sinx$$

则通解为

$$X = C_1e^{\sqrt{\lambda} ix} + C_2e^{-\sqrt{\lambda} ix} = (C_1+C_2)cos\sqrt{\lambda}x+i(C_1-C_2)sin\sqrt{\lambda}x$$

但是包含虚数，因此为了方便运算，我们再取其中两个特解，进行线性叠加，可以得到通解

当$C_1=C_2=\frac{1}{2}$时，特解为$X=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})cos\sqrt{\lambda}x$
当$C_1=-C_2=\frac{1}{2i}$时，特解为$X=i (\frac{1}{2i}+\frac{1}{2i}) sin\sqrt{\lambda}=sin\sqrt{\lambda}x$

则我们的通解可以写为：

$$X=Csin\sqrt{\lambda}x+Dcos\sqrt{\lambda}x$$

此处 $C$ 仅仅为线性叠加的常数，与上面的 $C \quad C_1 \quad C_2$无关

X(x)带入边界条件–本征函数、本征值

对于边界条件 $u(0,t)=u(l,t)=0$ ，将分离变量后 $u(x,t)=X(x)T(t)$ 带入，可得

$$X(0)T(t)=X(l)T(t)$$

显然T(t)不能为0，否则$u(x,t)$恒为0，波动方程不动了……，只能是

$$X(0)=X(l)=0$$

刚才关于$X(x)$的通解为$X=Csin\sqrt{\lambda}x+Dcos\sqrt{\lambda}x$

分别带入边界条件

$X(0)=0$时，$X=Csin\sqrt{\lambda}x+Dcos\sqrt{\lambda}x=D=0$

$X(l)=0$时，$X=Csin\sqrt{\lambda}l+0 \times cos\sqrt{\lambda}x=0$

C不能为0，否则，又变成了恒等式，只能是

$$sin\sqrt{\lambda} l=0$$

此时，$\lambda$ 只能取特定的值，称为 本征值

$$\sqrt{\lambda}l = n\pi \qquad n = 0,1,2,3……$$

$$\lambda _n = (\frac{n\pi}{l})^2 \qquad n = 0,1,2,3……$$

对于每一个本征值 $\lambda_n$对应一个$X_n(x)$的解

$$X_n(x)=Csin\frac{n\pi}{l}x \qquad n = 0,1,2,3……$$

这个解，被称为 本征函数

T(t)求解–本征频率

与之前$X(x)$的求解同理，T(t)的通解为

$$T=Asin(a\sqrt{\lambda} t) + Bcos(a\sqrt{\lambda} t)$$

这里的$\lambda$和之前X(x)求解中是一个，所以

$$\lambda _n = (\frac{n\pi}{l})^2 \qquad n = 0,1,2,3……$$

对于每一个 $\lambda _n$ 都有一个 $T_n(t)$ 的解与之对应

$$T_n(t)=A_nsin(a\frac{n\pi}{l}t) + B_ncos(a\frac{n\pi}{l}t) \qquad n = 0,1,2,3……$$

此时令 $a\frac{n\pi}{l}=\omega_n$，这里的 $\omega_n$ 就是 本征频率，上面的式子可以写成

$$T_n(t)=A_nsin(\omega_nt) + B_ncos(\omega_nt)\qquad n = 0,1,2,3……$$

这时候，每一个本征值 $\lambda_n$ 都对应一个本征解 $u_n$

最终定解

$$u_n(x,t) = X(x)T(t)=Csin\frac{n\pi}{l}x(A_nsin(\omega_nt) + B_ncos(\omega_nt)) n = 0,1,2,3……$$

因为 $A_n \quad B_n \quad C$ 都只是一个积分常数，我们将 $CA_n$ 合并为 $A_n$，注意，前后的 $A_n$ 并不相等，只是代表一个常数，$B_n$ 也做同样处理，式子可以化为

$$u_n(x,t) = X(x)T(t)=sin(\frac{n\pi}{l}x)(A_nsin(\omega_nt) + B_ncos(\omega_nt))\qquad n = 0,1,2,3……$$

这无穷多个 $u_n$ 都是满足波动方程和边界条件，由线性微分方程解的线性叠加原理可以得知，这一问题的解为无穷多个 $u_n$ 的线性叠加

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x,t) = \sum_{n=1}^\infty sin(\frac{n\pi}{l}x)(A_nsin(\omega_nt) + B_ncos(\omega_nt))\qquad n = 0,1,2,3……$$

其中的 $A_n \quad B_n$可以由最开始的四个方程中的初始状态确定，即方程3、4

初始状态：求$A_nB_n$

对于上面解中

$$\sum_{n=1}^\infty sin(\frac{n\pi}{l}x)\qquad n = 0,1,2,3……$$

是一个完备的正交函数系

由于初始条件 $\phi(x) \quad v(x)$ 都是定义在 $[0,l]$ 上的，我们可以在这个函数系上进行Fourier展开，如下

$$
\phi(x) = \sum_1^n \phi_n sin(\frac{n\pi}{l}x) \tag {5.1}
$$

$$v(x) = \sum_1^n v_n sin(\frac{n\pi}{l}x) \tag {5.2}$$

展开系数可以写为

$$\phi_n = \frac{2}{l} \int_0^l \phi(x) sin(\frac{n\pi}{l}x) \tag {5.3}$$

$$v_n = \frac{2}{l} \int_0^l v(x) sin(\frac{n\pi}{l}x) \tag {5.4}$$

最开始的初始状态有

$$
\begin{cases}
u(x,0)=\phi(x)\qquad &(0<x<l)\
u_t(x,0)=v(x)\qquad &(0<x<l)
\end{cases}
$$

之前 $u(x,t)$ 已经有解，因此可得

$$
\begin{aligned}
\phi(x)&=u(x,0)\
&=\sum_{n=1}^\infty sin(\frac{n\pi}{l}x)(A_nsin(\omega_n 0) + B_ncos(\omega_n 0))\
&=\sum_{n=1}^\infty sin(\frac{n\pi}{l}x)B_n
\end{aligned} \tag {5.5}
$$

速度函数，对t求导即可

$$
\begin{aligned}
v(x)&=u_t(x,0)\
&=\sum_{n=1}^\infty sin(\frac{n\pi}{l}x)(A_n \omega_n cos(\omega_n t) -B_n \omega_n sin(\omega_n t))\
&=\sum_{n=1}^\infty sin(\frac{n\pi}{l}x)(A_n \omega_n)
\end{aligned} \tag {5.6}
$$

注意 $(5.1) \quad (5.5) \quad (5.3)$对比

$$B_n= \phi_n = \frac{2}{l} \int_0^l \phi(x) sin(\frac{n\pi}{l}x)$$

同样，$(5.2) \quad (5.6) \quad (5.4)$对比

$$\begin{aligned}
A_n= \frac{v_n}{\omega_n} &= \frac{2}{\omega_nl} \int_0^l \phi(x) sin(\frac{n\pi}{l}x)\
&=\frac{2}{an\pi} \int_0^l \phi(x) sin(\frac{n\pi}{l}x)
\end{aligned}$$