波动方程求解2-分离变量法

发表于 2021-03-17 更新于 2026-03-25 分类于物理阅读次数：本文字数： 2.1k 阅读时长 ≈ 8 分钟

分离变量法求解波动方程：齐次方程、齐次边界条件下

大量参考《数学物理方法》-杨孔庆

齐次方程齐次边界条件

写成方程形式为：

$$ \begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=0\qquad &(0<x<l,\quad t>0)\\ u(0,t)=u(l,t)=0\qquad &(t>0)\\ u(x,0)=\phi(x)\qquad &(0<x<l)\\ u_t(x,0)=v(x)\qquad &(0<x<l) \end{cases} $$

这四个等式，上一篇文章都推导过

第一个：等号右边外力项 f₀(x, t) = 0，即齐次波动方程，其中 u_tt 为弦振动的位移（x轴对应的某一点的弦在y轴方向上下振动）对时间的二阶求导，u_xx 为弦函数（某一时刻，整条线呈现为一个y关于x的函数）对x的二阶导
第二个：第一类边界条件，两端固定；
第三个：t = 0 的初始状态，弦位置分布；
第四个：t = 0 时初始状态，每一点的速度分布。

分离变量

分离变量法，u 是关于时间 t 和位置 x 的复合函数，我们假设函数的解 u 中，t 与 x 可以分开即最终解为

u(x, t) = X(x)T(t)

（因为每一时刻 z 整条弦是一个 y 关于 x 的函数，而每一点在不同的时候上下振动也是一个关于时间 t 的函数）将这个形式的解带入到上面的第一个等式中

其中第一项 u_tt 为函数 u 对时间 t 的二阶求导（求导两次），对 t 求导时，X(x) 与 t 无关不会变，反之相同；T’’ 代表 T(t) 对时间的二阶导（这里的“双撇”用英文引号，在hexo next公式里面有问题，我是这么打出来的T’{’}，直接复制，不然有问题）

$$ \begin{aligned} u_{tt} &= \frac{\partial\frac{\partial (X(x)T(t))}{\partial t}}{\partial t}\\ &= X(x) \frac{\partial\frac{\partial (T(t))}{\partial t}}{\partial t}\\ &= X(x) T(t)’{’}\\ &=XT’{’} \end{aligned} $$

同理 u_xx = T(t)X(x)’’ = TX’’

u_tt − a²u_xx = XT’’ − a²TX’’ = 0

$$\frac{T’{’}}{a^2T}=\frac{X’{’}}{X}$$

上面这个等式，左边全部与 t 相关，右边全部与 x 相关，如果他们相等只能是常数，比如如果他们等于 2t，那么随着 t 的变化，方程左边变了，但是右边只与 x 有关，是不变的，反之同理

X(x)求通解

因此假设

$$\frac{T’{’}}{a^2T}=\frac{X’{’}}{X}=-\lambda \qquad (\lambda>0)$$

如果为正，后面的计算中会有冲突

对于 $\frac{X’{’}}{X}=-\lambda$，即X’’ + λX = 0，这是一个常见的二阶常微分方程，使用特征方程法，我们假设X = Ce^rx，则有

X’’ + λX = r²Ce^rx + λCe^rx = 0

特征方程为：

r² + λ = 0

有两个虚数根：

$$r = \pm \sqrt{\lambda} i$$

解有两个{C₁e^r₁x，C₂e^r₂x}，且线性无关，根据解的线性叠加原理可知：

解集 $X= C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}=C_1e^{\sqrt{\lambda} ix} + C_2e^{-\sqrt{\lambda} ix}$ 为通解。

对于虚数指数有如下关系（欧拉恒等式）：

e^ix = cosx + isinx

则通解为

$$X = C_1e^{\sqrt{\lambda} ix} + C_2e^{-\sqrt{\lambda} ix} = (C_1+C_2)cos\sqrt{\lambda}x+i(C_1-C_2)sin\sqrt{\lambda}x$$

但是包含虚数，因此为了方便运算，我们再取其中两个特解，进行线性叠加，可以得到通解

当$C_1=C_2=\frac{1}{2}$时，特解为$X=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})cos\sqrt{\lambda}x$
当$C_1=-C_2=\frac{1}{2i}$时，特解为$X=i (\frac{1}{2i}+\frac{1}{2i}) sin\sqrt{\lambda}=sin\sqrt{\lambda}x$

则我们的通解可以写为：

$$X=Csin\sqrt{\lambda}x+Dcos\sqrt{\lambda}x$$

此处 C 仅仅为线性叠加的常数，与上面的 C C₁ C₂无关

X(x)带入边界条件–本征函数、本征值

对于边界条件 u(0, t) = u(l, t) = 0 ，将分离变量后 u(x, t) = X(x)T(t) 带入，可得

X(0)T(t) = X(l)T(t)

显然T(t)不能为0，否则u(x, t)恒为0，波动方程不动了……，只能是

X(0) = X(l) = 0

刚才关于X(x)的通解为$X=Csin\sqrt{\lambda}x+Dcos\sqrt{\lambda}x$

分别带入边界条件

X(0) = 0时，$X=Csin\sqrt{\lambda}x+Dcos\sqrt{\lambda}x=D=0$

X(l) = 0时，$X=Csin\sqrt{\lambda}l+0 \times cos\sqrt{\lambda}x=0$

C不能为0，否则，又变成了恒等式，只能是

$$sin\sqrt{\lambda} l=0$$

此时，λ 只能取特定的值，称为 本征值

$$\sqrt{\lambda}l = n\pi \qquad n = 0,1,2,3……$$

$$\lambda _n = (\frac{n\pi}{l})^2 \qquad n = 0,1,2,3……$$

对于每一个本征值 λ_n对应一个X_n(x)的解

$$X_n(x)=Csin\frac{n\pi}{l}x \qquad n = 0,1,2,3……$$

这个解，被称为 本征函数

T(t)求解–本征频率

与之前X(x)的求解同理，T(t)的通解为

$$T=Asin(a\sqrt{\lambda} t) + Bcos(a\sqrt{\lambda} t)$$

这里的λ和之前X(x)求解中是一个，所以

$$\lambda _n = (\frac{n\pi}{l})^2 \qquad n = 0,1,2,3……$$

对于每一个 λ_n 都有一个 T_n(t) 的解与之对应

$$T_n(t)=A_nsin(a\frac{n\pi}{l}t) + B_ncos(a\frac{n\pi}{l}t) \qquad n = 0,1,2,3……$$

此时令 $a\frac{n\pi}{l}=\omega_n$，这里的 ω_n 就是 本征频率，上面的式子可以写成

T_n(t) = A_nsin(ω_nt) + B_ncos(ω_nt) n = 0, 1, 2, 3……

这时候，每一个本征值 λ_n 都对应一个本征解 u_n

最终定解

$$u_n(x,t) = X(x)T(t)=Csin\frac{n\pi}{l}x(A_nsin(\omega_nt) + B_ncos(\omega_nt)) n = 0,1,2,3……$$

因为 A_n B_n C 都只是一个积分常数，我们将 CA_n 合并为 A_n，注意，前后的 A_n 并不相等，只是代表一个常数，B_n 也做同样处理，式子可以化为

$$u_n(x,t) = X(x)T(t)=sin(\frac{n\pi}{l}x)(A_nsin(\omega_nt) + B_ncos(\omega_nt))\qquad n = 0,1,2,3……$$

这无穷多个 u_n 都是满足波动方程和边界条件，由线性微分方程解的线性叠加原理可以得知，这一问题的解为无穷多个 u_n 的线性叠加

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x,t) = \sum_{n=1}^\infty sin(\frac{n\pi}{l}x)(A_nsin(\omega_nt) + B_ncos(\omega_nt))\qquad n = 0,1,2,3……$$

其中的 A_n B_n可以由最开始的四个方程中的初始状态确定，即方程3、4

初始状态：求A_nB_n

对于上面解中

$$\sum_{n=1}^\infty sin(\frac{n\pi}{l}x)\qquad n = 0,1,2,3……$$

是一个完备的正交函数系

由于初始条件 ϕ(x) v(x) 都是定义在 [0, l] 上的，我们可以在这个函数系上进行Fourier展开，如下

$$ \phi(x) = \sum_1^n \phi_n sin(\frac{n\pi}{l}x) \tag {5.1} $$

$$v(x) = \sum_1^n v_n sin(\frac{n\pi}{l}x) \tag {5.2}$$

展开系数可以写为

$$\phi_n = \frac{2}{l} \int_0^l \phi(x) sin(\frac{n\pi}{l}x) \tag {5.3}$$

$$v_n = \frac{2}{l} \int_0^l v(x) sin(\frac{n\pi}{l}x) \tag {5.4}$$

最开始的初始状态有

$$ \begin{cases} u(x,0)=\phi(x)\qquad &(0<x<l)\\ u_t(x,0)=v(x)\qquad &(0<x<l) \end{cases} $$

之前 u(x, t) 已经有解，因此可得

$$ \begin{aligned} \phi(x)&=u(x,0)\\ &=\sum_{n=1}^\infty sin(\frac{n\pi}{l}x)(A_nsin(\omega_n 0) + B_ncos(\omega_n 0))\\ &=\sum_{n=1}^\infty sin(\frac{n\pi}{l}x)B_n \end{aligned} \tag {5.5} $$

速度函数，对t求导即可

$$ \begin{aligned} v(x)&=u_t(x,0)\\ &=\sum_{n=1}^\infty sin(\frac{n\pi}{l}x)(A_n \omega_n cos(\omega_n t) -B_n \omega_n sin(\omega_n t))\\ &=\sum_{n=1}^\infty sin(\frac{n\pi}{l}x)(A_n \omega_n) \end{aligned} \tag {5.6} $$

注意 (5.1) (5.5) (5.3)对比

$$B_n= \phi_n = \frac{2}{l} \int_0^l \phi(x) sin(\frac{n\pi}{l}x)$$

同样，(5.2) (5.6) (5.4)对比

$$\begin{aligned} A_n= \frac{v_n}{\omega_n} &= \frac{2}{\omega_nl} \int_0^l \phi(x) sin(\frac{n\pi}{l}x)\\ &=\frac{2}{an\pi} \int_0^l \phi(x) sin(\frac{n\pi}{l}x) \end{aligned}$$